Integral de \( \sin^2 x \)

Derivación y evaluación

Encuentra la integral:

\[ \int \sin^2 x \, dx \]

Utiliza la identidad trigonométrica \( \sin^2 x = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \) para reescribir la integral:

\[ \int \sin^2 x \, dx = \dfrac{1}{2} \int (1 - \cos(2x)) \, dx \]

Utiliza la regla de la suma para integrales \( \displaystyle \int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx \) para reescribir la expresión:

\[ \int \sin^2 x \, dx = \dfrac{1}{2} \int 1 \, dx - \dfrac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx \]

Evalúa utilizando las integrales estándar \( \displaystyle \int 1 \, dx = x \) y \( \displaystyle \int \cos(2x) \, dx = \dfrac{1}{2} \sin(2x) \):

\[ = \dfrac{1}{2} x - \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{2} \sin(2x) \right) + c \]

donde \( c \) es la constante de integración.

Simplificando los términos, el resultado final está dado por: